Uma solução em radicais ou solução algébrica é uma expressão de uma solução de uma equação polinomial que é algébrica, ou seja, depende apenas de adição, subtração, multiplicação, divisão, elevação a potências inteiras e extração de raízes n-ésimas (raízes quadradas, raízes cúbicas, etc.). Um exemplo bem conhecido é a fórmula quadrática (ou fórmula de Bhaskara)
x =
− b ±
b
2
− 4 a c
2 a
,
{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},}
que expressa as soluções da equação quadrática
a
x
2
+ b x + c = 0.
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}
Existem soluções algébricas para equações cúbicas e equações quárticas, que são mais complicadas que a fórmula quadrática. O teorema de Abel-Ruffini, e, mais geralmente a teoria de Galois, afirmam que algumas equações quínticas, como
x
5
− x + 1 = 0 ,
{\displaystyle x^{5}-x+1=0,}
não possuem nenhuma solução algébrica. O mesmo é verdade para qualquer grau superior. No entanto, para qualquer grau, existem algumas equações polinomiais que têm soluções algébricas; por exemplo, a equação
x
10
= 2
{\displaystyle x^{10}=2}
pode ser resolvida como
x = ±
2
10
.
{\displaystyle x=\pm {\sqrt[{10}]{2}}.}
As outras oito soluções são números complexos não reais, que também são algébricos e têm a forma
x = ± r
2
10
,
{\displaystyle x=\pm r{\sqrt[{10}]{2}},}
onde r é uma quinta raiz da unidade, que pode ser expressa com duas raízes quadradas aninhadas. Veja também Outras quínticas solúveis para vários outros exemplos de grau 5. Évariste Galois introduziu um critério que permite decidir quais equações são solúveis em radicais. Veja Extensão radical para a formulação precisa do seu resultado.
Ver também Símbolo de radical Quínticas solúveis Sêxticas solúveis Sépticas solúveis
Referências
