Rotação, também conhecida como movimento rotacional ou movimento rotatório, é o movimento de um objeto que deixa pelo menos um ponto inalterado. Em 2 dimensões, uma figura plana pode rotacionar em sentido horário ou anti-horário em torno de um ponto chamado de centro de rotação. Em 3 dimensões, uma figura sólida rotaciona em torno de uma linha imaginária chamada de eixo de rotação. O caso especial de uma rotação com um eixo interno passando pelo próprio centro de massa do corpo é conhecido como rotação própria (ou spin / autorrotação). Nesse caso, a interseção da superfície do eixo de rotação própria interno pode ser chamada de polo; por exemplo, a rotação da Terra define os polos geográficos. Uma rotação em torno de um eixo completamente externo ao corpo em movimento é chamada de revolução (ou órbita), como em uma órbita planetária, por exemplo, a órbita da Terra ao redor do Sol. As extremidades do eixo de revolução externo podem ser chamadas de polos orbitais. Ambos os tipos de rotação estão envolvidos em um tipo correspondente de velocidade angular (velocidade angular de rotação própria e velocidade angular orbital) e momento angular (momento angular de rotação própria e momento angular orbital).
Matemática
Matematicamente, uma rotação é um movimento de corpo rígido que, ao contrário de uma translação, mantém pelo menos um ponto fixo. Esta definição aplica-se a rotações em duas dimensões (em um plano), nas quais exatamente um ponto é mantido fixo; e também em três dimensões (no espaço), nas quais pontos adicionais podem ser mantidos fixos (como na rotação em torno de um eixo fixo, como uma linha infinita). Todos os movimentos de corpo rígido são rotações, translações ou combinações dos dois. Uma rotação é simplesmente uma orientação radial progressiva em relação a um ponto comum. Esse ponto comum encontra-se dentro do eixo desse movimento. O eixo é perpendicular ao plano do movimento. Se uma rotação em torno de um ponto ou eixo é seguida por uma segunda rotação em torno do mesmo ponto/eixo, uma terceira rotação resulta. A inversa (inversa) de uma rotação também é uma rotação. Assim, as rotações em torno de um ponto/eixo formam um grupo. No entanto, uma rotação em torno de um ponto ou eixo e uma rotação em torno de um ponto/eixo diferente podem resultar em algo que não é uma rotação, por exemplo, uma translação. Rotações em torno dos eixos x, y e z são chamadas de rotações principais. A rotação em torno de qualquer eixo pode ser realizada tomando uma rotação em torno do eixo x, seguida por uma rotação em torno do eixo y, e seguida por uma rotação em torno do eixo z. Isto é, qualquer rotação espacial pode ser decomposta em uma combinação de rotações principais.
Eixo fixo versus ponto fixo A combinação de qualquer sequência de rotações de um objeto em três dimensões em torno de um ponto fixo é sempre equivalente a uma rotação em torno de um eixo (que pode ser considerada como uma rotação no plano de rotação que é perpendicular a esse eixo). Da mesma forma, a taxa de rotação de um objeto em três dimensões em qualquer instante é em torno de algum eixo, embora esse eixo possa estar mudando ao longo do tempo. Em dimensões diferentes de três, não faz sentido descrever uma rotação como sendo em torno de um eixo, uma vez que mais de um eixo através do objeto pode ser mantido fixo; em vez disso, rotações simples são descritas como sendo em um plano. Em quatro ou mais dimensões, uma combinação de duas ou mais rotações em torno de um plano não é, em geral, uma rotação em um único plano.
Eixo de rotações bidimensionais Predefinição:Artigo secundário Rotações bidimensionais, ao contrário das tridimensionais, não possuem eixo de rotação, apenas um ponto em torno do qual a rotação ocorre. Isso é equivalente, para transformações lineares, a dizer que não há direção no plano que seja mantida inalterada por uma rotação bidimensional, exceto, claro, a identidade. A questão da existência de tal direção é a questão da existência de um autovetor para a matriz A que representa a rotação. Toda rotação 2D em torno da origem através de um ângulo
θ
{\displaystyle \theta }
no sentido anti-horário pode ser bastante simplesmente representada pela seguinte matriz:
A =
[
cos θ
− sin θ
sin θ
cos θ
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}
Uma determinação padrão de autovalor leva à equação característica
λ
2
− 2 λ cos θ + 1 = 0 ,
{\displaystyle \lambda ^{2}-2\lambda \cos \theta +1=0,}
que tem
cos θ ± i sin θ
{\displaystyle \cos \theta \pm i\sin \theta }
como seus autovalores. Portanto, não há autovalor real sempre que
cos θ ≠ ± 1
{\displaystyle \cos \theta \neq \pm 1}
, significando que nenhum vetor real no plano é mantido inalterado por A.
Ângulo e eixo de rotação em 3 dimensões
Sabendo que o traço é um invariante, o ângulo de rotação
α
{\displaystyle \alpha }
para uma matriz de rotação 3x3 ortogonal própria
A
{\displaystyle A}
é encontrado por
α =
cos
− 1
(
A
11
+
A
22
+
A
33
− 1
2
)
{\displaystyle \alpha =\cos ^{-1}\left({\frac {A_{11}+A_{22}+A_{33}-1}{2}}\right)}
Usando o arco-cosseno principal, esta fórmula fornece um ângulo de rotação satisfazendo
0 ≤ α ≤
180
∘
{\displaystyle 0\leq \alpha \leq 180^{\circ }}
. O eixo de rotação correspondente deve ser definido para apontar em uma direção que limite o ângulo de rotação a não exceder 180 graus. (Isso sempre pode ser feito porque qualquer rotação de mais de 180 graus em torno de um eixo
m
{\displaystyle m}
sempre pode ser escrita como uma rotação tendo
0 ≤ α ≤
180
∘
{\displaystyle 0\leq \alpha \leq 180^{\circ }}
se o eixo for substituído por
n = − m
{\displaystyle n=-m}
.) Toda rotação própria
A
{\displaystyle A}
no espaço 3D tem um eixo de rotação, que é definido de tal forma que qualquer vetor
v
{\displaystyle v}
que esteja alinhado com o eixo de rotação não será afetado pela rotação. Consequentemente,
A v = v
{\displaystyle Av=v}
, e o eixo de rotação corresponde, portanto, a um autovetor da matriz de rotação associado a um autovalor de 1. Desde que o ângulo de rotação
α
{\displaystyle \alpha }
seja diferente de zero (ou seja, a rotação não é o tensor identidade), há uma e apenas uma tal direção. Como A tem apenas componentes reais, há pelo menos um autovalor real, e os dois autovalores restantes devem ser conjugados complexos um do outro (ver Autovalores e autovetores#Autovalores e o polinômio característico). Sabendo que 1 é um autovalor, segue-se que os dois autovalores restantes são conjugados complexos um do outro, mas isso não implica que eles sejam complexos — eles poderiam ser reais com multiplicidade dupla. No caso degenerado de um ângulo de rotação
α =
180
∘
{\displaystyle \alpha =180^{\circ }}
, os dois autovalores restantes são ambos iguais a −1. No caso degenerado de um ângulo de rotação zero, a matriz de rotação é a identidade, e todos os três autovalores são 1 (que é o único caso para o qual o eixo de rotação é arbitrário). Uma análise espectral não é necessária para encontrar o eixo de rotação. Se
n
{\displaystyle n}
denota o autovetor unitário alinhado com o eixo de rotação, e se
α
{\displaystyle \alpha }
denota o ângulo de rotação, então pode ser mostrado que
2 sin ( α ) n = {
A
32
−
A
23
,
A
13
−
A
31
,
A
21
−
A
12
}
{\displaystyle 2\sin(\alpha )n=\{A_{32}-A_{23},A_{13}-A_{31},A_{21}-A_{12}\}}
. Consequentemente, a despesa de uma análise de autovalor pode ser evitada simplesmente normalizando este vetor se ele tiver uma magnitude diferente de zero. Por outro lado, se este vetor tiver magnitude zero, significa que
sin ( α ) = 0
{\displaystyle \sin(\alpha )=0}
. Em outras palavras, este vetor será zero se e somente se o ângulo de rotação for 0 ou 180 graus, e o eixo de rotação pode ser atribuído neste caso normalizando qualquer coluna de
A + I
{\displaystyle A+I}
que tenha uma magnitude diferente de zero. Esta discussão aplica-se a uma rotação própria, e portanto
det A = 1
{\displaystyle \det A=1}
. Qualquer matriz 3x3 ortogonal imprópria
B
{\displaystyle B}
pode ser escrita como
B = − A
{\displaystyle B=-A}
, na qual
A
{\displaystyle A}
é ortogonal própria. Isto é, qualquer matriz 3x3 ortogonal imprópria pode ser decomposta como uma rotação própria (da qual um eixo de rotação pode ser encontrado conforme descrito acima) seguida por uma inversão (multiplicação por −1). Segue-se que o eixo de rotação de
A
{\displaystyle A}
é também o autovetor de
B
{\displaystyle B}
correspondente a um autovalor de −1.
Plano de rotação
Assim como toda rotação tridimensional tem um eixo de rotação, toda rotação tridimensional também tem um plano, que é perpendicular ao eixo de rotação, e que é deixado invariante pela rotação. A rotação, restrita a este plano, é uma rotação 2D ordinária. A prova procede de maneira semelhante à discussão acima. Primeiro, suponha que todos os autovalores da matriz de rotação 3D A sejam reais. Isso significa que há uma base ortogonal, feita pelos autovetores correspondentes (que são necessariamente ortogonais), sobre a qual o efeito da matriz de rotação é apenas esticá-la. Se escrevermos A nesta base, ela é diagonal; mas uma matriz ortogonal diagonal é feita apenas de +1s e −1s nas entradas diagonais. Portanto, não temos uma rotação própria, mas sim a identidade ou o resultado de uma sequência de reflexões. Segue-se, então, que uma rotação própria tem algum autovalor complexo. Seja v o autovetor correspondente. Então, como mostramos no tópico anterior,
v ̄
{\displaystyle {\bar {v}}}
também é um autovetor, e
v +
v ̄
{\displaystyle v+{\bar {v}}}
e
i ( v −
v ̄
)
{\displaystyle i(v-{\bar {v}})}
são tais que seu produto escalar se anula:
i (
v
T
+
v ̄
T
) ( v −
v ̄
) = i (
v
T
v −
v ̄
T
v ̄
+
v ̄
T
v −
v
T
v ̄
) = 0
{\displaystyle i(v^{\text{T}}+{\bar {v}}^{\text{T}})(v-{\bar {v}})=i(v^{\text{T}}v-{\bar {v}}^{\text{T}}{\bar {v}}+{\bar {v}}^{\text{T}}v-v^{\text{T}}{\bar {v}})=0}
porque, como
v ̄
T
v ̄
{\displaystyle {\bar {v}}^{\text{T}}{\bar {v}}}
é real, ele é igual ao seu conjugado complexo
v
T
v
{\displaystyle v^{\text{T}}v}
, e
v ̄
T
v
{\displaystyle {\bar {v}}^{\text{T}}v}
e
v
T
v ̄
{\displaystyle v^{\text{T}}{\bar {v}}}
são ambas representações do mesmo produto escalar entre
v
{\displaystyle v}
e
v ̄
{\displaystyle {\bar {v}}}
. Isso significa que
v +
v ̄
{\displaystyle v+{\bar {v}}}
e
i ( v −
v ̄
)
{\displaystyle i(v-{\bar {v}})}
são vetores ortogonais. Além disso, ambos são vetores reais por construção. Estes vetores geram o mesmo subespaço que
v
{\displaystyle v}
e
v ̄
{\displaystyle {\bar {v}}}
, que é um subespaço invariante sob a aplicação de A. Portanto, eles geram um plano invariante. Este plano é ortogonal ao eixo invariante, que corresponde ao autovetor restante de A, com autovalor 1, devido à ortogonalidade dos autovetores de A.
Rotação de vetores Diz-se que um vetor está rotacionando se ele muda sua orientação. Este efeito é geralmente acompanhado apenas quando seu vetor de taxa de variação tem componente perpendicular diferente de zero em relação ao vetor original. Isso pode ser mostrado ser o caso considerando um vetor
A →
{\displaystyle {\vec {A}}}
que é parametrizado por alguma variável
t
{\textstyle t}
para a qual:
d
|
A →
|
2
d t
=
d (
A →
⋅
A →
)
d t
⇒
d
|
A →
|
d t
=
d
A →
d t
⋅
A ^
{\displaystyle {d|{\vec {A}}|^{2} \over dt}={d({\vec {A}}\cdot {\vec {A}}) \over dt}\Rightarrow {d|{\vec {A}}| \over dt}={d{\vec {A}} \over dt}\cdot {\hat {A}}}
O que também dá uma relação de taxa de variação do vetor unitário tomando
A →
{\displaystyle {\vec {A}}}
, para ser tal vetor:
d
A ^
d t
⋅
A ^
= 0
{\displaystyle {d{\hat {A}} \over dt}\cdot {\hat {A}}=0}
mostrando que o vetor
d
A ^
d t
{\textstyle {d{\hat {A}} \over dt}}
é perpendicular ao vetor
A →
{\displaystyle {\vec {A}}}
. De:
d
A →
d t
=
d (
|
A →
|
A ^
)
d t
=
d
|
A →
|
d t
A ^
+
|
A →
|
(
d
A ^
d t
)
{\displaystyle {d{\vec {A}} \over dt}={d(|{\vec {A}}|{\hat {A}}) \over dt}={d|{\vec {A}}| \over dt}{\hat {A}}+|{\vec {A}}|\left({d{\hat {A}} \over dt}\right)}
, como o primeiro termo é paralelo a
A →
{\displaystyle {\vec {A}}}
e o segundo perpendicular a ele, podemos concluir em geral que as componentes paralela e perpendicular da taxa de variação de um vetor influenciam independentemente apenas a magnitude ou a orientação do vetor, respectivamente. Logo, um vetor em rotação sempre tem uma componente perpendicular diferente de zero de seu vetor de taxa de variação contra o próprio vetor.
Em dimensões superiores
À medida que as dimensões aumentam, o número de vetores de rotação aumenta. Ao longo de um espaço quadridimensional (um hipervolume), as rotações ocorrem ao longo dos eixos x, y, z e w. Um objeto rotacionado em um eixo w intercepta vários volumes, onde cada interseção é igual a um volume autocontido em um ângulo. Isso dá origem a um novo eixo de rotação em um hipervolume 4D, onde um objeto 3D pode ser rotacionado perpendicularmente ao eixo z.
Física A velocidade de rotação é dada pela frequência angular (rad/s) ou frequência (voltas por tempo), ou período (segundos, dias, etc.). A taxa de variação temporal da frequência angular é a aceleração angular (rad/s2), causada pelo torque. A razão do torque τ para a aceleração angular α é dada pelo momento de inércia:
I =
τ α
.
{\displaystyle I={\frac {\tau }{\alpha }}.}
O vetor da velocidade angular (um vetor axial) também descreve a direção do eixo de rotação. Da mesma forma, o torque é um vetor axial. A física da rotação em torno de um eixo fixo é matematicamente descrita com a representação eixo-ângulo das rotações. De acordo com a regra da mão direita, a direção para longe do observador está associada à rotação no sentido horário e a direção em direção ao observador com a rotação no sentido anti-horário, como um parafuso.
Movimento circular
É possível que objetos tenham trajetórias circulares periódicas sem mudar sua orientação. Estes tipos de movimento são tratados sob movimento circular em vez de rotação, mais especificamente como uma translação curvilínea. Como a translação envolve deslocamento de corpos rígidos enquanto preserva a orientação do corpo, no caso da translação curvilínea, todos os pontos têm a mesma velocidade instantânea, enquanto o movimento relativo só pode ser observado em movimentos que envolvem rotação. Na rotação, a orientação do objeto muda e a mudança na orientação é independente dos observadores cujos referenciais têm orientação relativa constante ao longo do tempo. Pelo teorema de Euler, qualquer mudança na orientação pode ser descrita por rotação em torno de um eixo através de um ponto de referência escolhido. Logo, a distinção entre rotação e movimento circular pode ser feita exigindo um eixo instantâneo para a rotação, uma linha passando pelo centro instantâneo do círculo e perpendicular ao plano de movimento. No exemplo que retrata a translação curvilínea, os centros dos círculos para o movimento situam-se em uma linha reta, mas ela é paralela ao plano de movimento e, portanto, não se resolve em um eixo de rotação. Em contraste, um corpo em rotação sempre terá seu eixo instantâneo de velocidade zero, perpendicular ao plano de movimento. Mais geralmente, devido ao teorema de Chasles, qualquer movimento de corpos rígidos pode ser tratado como uma composição de rotação e translação, chamada de movimento plano geral. Um exemplo simples de rotação pura é considerado na rotação em torno de um eixo fixo.
Rotações de Euler
As rotações de Euler fornecem uma descrição alternativa de uma rotação. É uma composição de três rotações definidas como o movimento obtido pela mudança de um dos ângulos de Euler enquanto os outros dois são mantidos constantes. As rotações de Euler nunca são expressas em termos do referencial externo, ou em termos do referencial do corpo rotativo em movimento, mas em uma mistura. Elas constituem um sistema de eixos de rotação mistos, onde o primeiro ângulo move a linha de nós em torno do eixo externo z, o segundo rotaciona em torno da linha de nós e o terceiro é uma rotação intrínseca em torno de um eixo fixo no corpo que se move. Estas rotações são chamadas de precessão, nutation e rotação intrínseca.
Invariância rotacional
Um sistema que se comporta da mesma forma independentemente de como está orientado no espaço é dito ser rotacionalmente invariante. De acordo com o teorema de Noether, se a ação (a integral no tempo de seu Lagrangiano) de um sistema físico é invariante sob rotação, então o momento angular é conservado.
Astronomia
Predefinição:Artigo secundário Na astronomia, a rotação é um fenômeno comumente observado; inclui tanto a rotação própria (autorrotação) quanto a revolução orbital.
Buracos negros A rotação ou spin de um buraco negro é sua única propriedade astronômica além de sua massa. A rotação armazena enormes quantidades de energia, alimentando jatos relativísticos de partículas ionizadas que se estendem por milhares de parsecs no espaço e duram centenas de milhões de anos. Os jatos são fortes o suficiente para alterar a evolução das galáxias. Buracos negros giram muito mais rápido do que estrelas de nêutrons, apesar de sua origem semelhante em supernova, sugerindo que o campo magnético giratório da estrela de nêutrons transfere energia rotacional para gases ionizados que saem da explosão da nova.
Rotação própria Estrelas, planetas e corpos semelhantes podem girar em torno de seus eixos. A taxa de rotação dos planetas no Sistema Solar foi medida pela primeira vez rastreando características visuais. A rotação estelar é medida através do desvio de Doppler ou rastreando características ativas da superfície. Um exemplo são as manchas solares, que giram ao redor do Sol na mesma velocidade que os gases externos que compõem o Sol. Sob algumas circunstâncias, corpos em órbita podem travar sua rotação própria em sua rotação orbital em torno de um corpo maior. Este efeito é chamado de acoplamento de maré; a Lua tem acoplamento de maré com a Terra. Esta rotação induz uma aceleração centrífuga no referencial da Terra que contraria ligeiramente o efeito da gravitação quanto mais próximo se está do equador. A gravidade da Terra combina ambos os efeitos de massa de tal forma que um objeto pesa ligeiramente menos no equador do que nos polos. Outro é que, ao longo do tempo, a Terra é ligeiramente deformada em um esferoide oblato; um bojo equatorial semelhante se desenvolve para outros planetas. Outra consequência da rotação de um planeta são os fenômenos de precessão e nutation. Como um giroscópio, o efeito geral é uma ligeira "oscilação" no movimento do eixo de um planeta. Atualmente, a inclinação do eixo da Terra em relação ao seu plano orbital (obliquidade da eclíptica) é de 23,44 graus, mas este ângulo muda lentamente (ao longo de milhares de anos).
Rotação retrógrada
A maioria dos planetas no Sistema Solar, incluindo a Terra, giram na mesma direção em que orbitam o Sol. As exceções são Vênus e Urano. Vênus pode ser pensado como girando lentamente para trás (ou estando "de cabeça para baixo"). Urano rotaciona quase de lado em relação à sua órbita. A especulação atual é que Urano começou com uma orientação prógrada típica e foi derrubado de lado por um grande impacto no início de sua história. O planeta anão Plutão (antigamente considerado um planeta) é anômalo de várias maneiras, inclusive pelo fato de que também rotaciona de lado.
Revolução
Embora revolução seja frequentemente usada como sinônimo de rotação, em muitos campos, particularmente na astronomia e campos relacionados, revolução, frequentemente referida como revolução orbital para maior clareza, é usada quando um corpo se move ao redor de outro, enquanto rotação é usada para significar o movimento em torno de um eixo. Luas revolucionam ao redor de seus planetas, planetas revolucionam ao redor de suas estrelas (como a Terra ao redor do Sol); e estrelas lentamente revolucionam ao redor de seus centros galácticos. O movimento dos componentes de galáxias é complexo, mas geralmente inclui um componente de rotação.
Aplicações
Dinâmica de voo
Na dinâmica de voo, as rotações principais descritas com os ângulos de Euler acima são conhecidas como arfagem, rolagem e guinada. O termo rotação também é usado na aviação para se referir à arfagem para cima (o nariz se move para cima) de uma aeronave, particularmente ao iniciar a subida após a decolagem. As rotações principais têm a vantagem de modelar uma série de sistemas físicos, como gimbals e joysticks, por isso são facilmente visualizadas e são uma forma muito compacta de armazenar uma rotação. Mas são difíceis de usar em cálculos, pois até mesmo operações simples como combinar rotações são custosas de fazer, e sofrem de uma forma de gimbal lock onde os ângulos não podem ser calculados de forma única para certas rotações.
Voo de flecha Diferentes rugosidades em cada lado da empenagem da flecha produzem spin no voo da flecha. Esta rotação melhora a estabilidade da flecha em voo e a precisão da trajetória.
Brinquedos de parque de diversões Muitos brinquedos de parque de diversões proporcionam rotação. Uma roda gigante tem um eixo central horizontal e eixos paralelos para cada gôndola, onde a rotação é oposta, por gravidade ou mecanicamente. Como resultado, a qualquer momento a orientação da gôndola é vertical (não rotacionada), apenas transladada. A ponta do vetor de translação descreve um círculo. Um carrossel proporciona rotação em torno de um eixo vertical. Muitos brinquedos proporcionam uma combinação de rotações em torno de vários eixos. No Chair-O-Planes (Cadeiras Voadoras), a rotação em torno do eixo vertical é fornecida mecanicamente, enquanto a rotação em torno do eixo horizontal se deve à força centrípeta. Nas inversões de montanha-russa, a rotação em torno do eixo horizontal é um ou mais ciclos completos, onde a inércia mantém as pessoas em seus assentos.
Esportes Spin move A rotação de uma bola ou outro objeto, geralmente chamada de spin, desempenha um papel em muitos esportes, incluindo topspin e backspin no tênis, efeito, follow e draw nas técnicas de bilhar e sinuca, arremessos de curva no beisebol, boliche de spin no críquete, esportes de disco voador, etc. As raquetes de tênis de mesa são fabricadas com diferentes características de superfície para permitir que o jogador imprima uma quantidade maior ou menor de spin à bola. A rotação de um jogador uma ou mais vezes em torno de um eixo vertical pode ser chamada de spin na patinação artística, twirling (do bastão ou do performer) na ginástica com bastão, ou 360, 540, 720, etc. no snowboard, etc. A rotação de um jogador ou performer uma ou mais vezes em torno de um eixo horizontal pode ser chamada de flip, rol, cambalhota, heli, etc. na ginástica, esqui aquático, ou muitos outros esportes, ou um um-e-meio, dois-e-meio, gainer (começando de costas para a água), etc. no mergulho, etc. Uma combinação de rotação vertical e horizontal (back flip com 360°) é chamada de möbius no salto freestyle de esqui aquático. A rotação de um jogador em torno de um eixo vertical, geralmente entre 180 e 360 graus, pode ser chamada de spin move e é usada como uma manobra enganosa ou de evasão, ou em uma tentativa de jogar, passar ou receber uma bola ou disco, etc., ou para proporcionar a um jogador uma visão do gol ou de outros jogadores. É frequentemente vista no hóquei, basquete, futebol de vários códigos, tênis, etc.
Ver também
Referências
Ligações externas Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Rotation», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer Produto de Rotações no cut-the-knot. Quando um Triângulo é Equilátero no cut-the-knot. Rotacionar Pontos Usando Coordenadas Polares, howtoproperly.com Rotação em Duas Dimensões por Sergio Hannibal Mejia após trabalho de Roger Germundsson e Entendendo a Rotação 3D por Roger Germundsson, Wolfram Demonstrations Project. demonstrations.wolfram.com Brannon, R. M. (2018). Rotation, Reflection, and Frame Changes. [S.l.]: IOP Publishing. ISBN 978-0-7503-1454-1. doi:10.1088/978-0-7503-1454-1
