Na geometria algébrica, uma curva estável é uma curva algébrica que é assintoticamente estável no sentido da teoria dos invariantes geométricos. Isso é equivalente à condição de que ela seja uma curva conexa completa cujas únicas singularidades sejam pontos duplos ordinários e cujo grupo de automorfismos seja finito. A condição de que o grupo de automorfismos seja finito pode ser substituída pela condição de que a curva não tenha gênero aritmético um e que toda componente racional não singular encontre as outras componentes em pelo menos 3 pontos (Deligne & Mumford 1969). Uma curva semiestável é aquela que satisfaz condições semelhantes, exceto que o grupo de automorfismos pode ser redutivo em vez de finito (ou, equivalentemente, sua componente conexa pode ser um toro). Alternativamente, a condição de que as componentes racionais não singulares encontrem as outras componentes em pelo menos três pontos é substituída pela condição de que elas se encontrem em pelo menos dois pontos. De forma análoga, uma curva com um número finito de pontos marcados é chamada de estável se for completa, conexa, tiver apenas pontos duplos ordinários como singularidades e tiver um grupo de automorfismos finito. Por exemplo, uma curva elíptica (uma curva não singular de gênero 1 com 1 ponto marcado) é estável. Sobre os números complexos, uma curva conexa é estável se e somente se, após a remoção de todos os pontos singulares e marcados, os revestimentos universais de todas as suas componentes forem isomorfos ao disco unitário.

Definição Dado um esquema

S

{\displaystyle S}

arbitrário e fixando

g ≥ 2

{\displaystyle g\geq 2}

, uma curva estável de gênero g sobre

S

{\displaystyle S}

é definida como um morfismo plano e próprio

π : C → S

{\displaystyle \pi :C\to S}

tal que as fibras geométricas sejam esquemas unidimensionais conexos e reduzidos

C

s

{\displaystyle C_{s}}

de modo que:

C

s

{\displaystyle C_{s}}

tenha apenas singularidades de pontos duplos ordinários Toda componente racional

E

{\displaystyle E}

encontre outras componentes em mais de

2

{\displaystyle 2}

pontos

dim ⁡

H

1

(

O

C

s

) = g

{\displaystyle \dim H^{1}({\mathcal {O}}_{C_{s}})=g}

Essas condições técnicas são necessárias porque (1) reduzem a complexidade técnica (além disso, a teoria de Picard-Lefschetz pode ser usada aqui), (2) tornam as curvas rígidas de modo que não haja automorfismos infinitesimais da pilha de moduli construída posteriormente, e (3) garantem que o gênero aritmético de cada fibra seja o mesmo. Note que, para (1), os tipos de singularidades encontrados em superfícies elípticas podem ser completamente classificados.

Exemplos Um exemplo clássico de uma família de curvas estáveis é dado pela família de curvas de Weierstrass

Proj ⁡

(

Q

[ t ] [ x , y , z ]

y

2

z − x ( x − z ) ( x − t z )

)

↓

Spec ⁡ (

Q

[ t ] )

{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {Q} [t][x,y,z]}{y^{2}z-x(x-z)(x-tz)}}\right)\\\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {Q} [t])\end{matrix}}}

onde as fibras sobre todo ponto

≠ 0 , 1

{\displaystyle \neq 0,1}

são suaves e os pontos degenerados têm apenas uma singularidade de ponto duplo. Esse exemplo pode ser generalizado para o caso de uma família a um parâmetro de curvas hiperelípticas suaves degenerando em finitos pontos.

Não-exemplos No caso geral de mais de um parâmetro, deve-se ter o cuidado de remover curvas que apresentem singularidades piores do que pontos duplos. Por exemplo, considere a família sobre

A

s , t

2

{\displaystyle \mathbb {A} _{s,t}^{2}}

construída a partir dos polinômios

y

2

= x ( x − s ) ( x − t ) ( x − 1 ) ( x − 2 )

{\displaystyle y^{2}=x(x-s)(x-t)(x-1)(x-2)}

uma vez que ao longo da diagonal

s = t

{\displaystyle s=t}

existem singularidades que não são pontos duplos. Outro não-exemplo é a família sobre

A

t

1

{\displaystyle \mathbb {A} _{t}^{1}}

dada pelos polinômios

x

3

−

y

2

+ t

{\displaystyle x^{3}-y^{2}+t}

que consiste em uma família de curvas elípticas degenerando em uma curva racional com uma cúspide.

Propriedades Uma das propriedades mais importantes das curvas estáveis é o fato de que elas são interseções completas locais. Isso implica que a teoria padrão da Dualidade de Serre pode ser usada. Em particular, pode-se mostrar que para toda curva estável

ω

C

/

S

⊗ 3

{\displaystyle \omega _{C/S}^{\otimes 3}}

é um feixe relativamente muito amplo; ele pode ser usado para mergulhar a curva em

P

S

5 g − 6

{\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{5g-6}}

. Usando a teoria padrão do esquema de Hilbert, podemos construir um esquema de moduli de curvas de gênero

g

{\displaystyle g}

mergulhadas em algum espaço projetivo. O Polinômio de Hilbert é dado por

P

g

( n ) = ( 6 n − 1 ) ( g − 1 )

{\displaystyle P_{g}(n)=(6n-1)(g-1)}

Existe um sublugar geométrico de curvas estáveis contido no esquema de Hilbert

H

g

⊂

Hilb

P

Z

5 g − 6

P

g

{\displaystyle H_{g}\subset {\textbf {Hilb}}_{\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{5g-6}}^{P_{g}}}

Isso representa o functor

H

g

( S ) ≅

{

curvas estáveis

π : C → S

com um iso

P

(

π

∗

(

ω

C

/

S

⊗ 3

) ) ≅

P

5 g − 6

× S

}

/

∼

≅ Hom ⁡ ( S ,

H

g

)

{\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}(S)\cong \left.\left\{{\begin{matrix}&{\text{curvas estáveis }}\pi :C\to S\\&{\text{ com um iso }}\\&\mathbb {P} (\pi _{*}(\omega _{C/S}^{\otimes 3}))\cong \mathbb {P} ^{5g-6}\times S\end{matrix}}\right\}{\Bigg /}{\sim }\right.\cong \operatorname {Hom} (S,H_{g})}

onde

∼

{\displaystyle \sim }

denota isomorfismos de curvas estáveis. Para fazer com que este seja o espaço de moduli de curvas sem considerar o mergulho (que é codificado pelo isomorfismo de espaços projetivos), temos que tomar o quociente por

P G L ( 5 g − 6 )

{\displaystyle PGL(5g-6)}

. Isso nos dá a pilha de moduli (moduli stack)

M

g

:= [

H _

g

/

P G L

_

( 5 g − 6 ) ]

{\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}:=[{\underline {H}}_{g}/{\underline {PGL}}(5g-6)]}

Ver também Moduli de curvas algébricas Mapeamento estável de curvas

Referências Artin, M.; Winters, G. (1971-11-01). "Degenerate fibres and stable reduction of curves". Topology. 10 (4): 373–383. doi:10.1016/0040-9383(71)90028-0. ISSN 0040-9383. Deligne, Pierre; Mumford, David (1969), «The irreducibility of the space of curves of given genus», Publications Mathématiques de l'IHÉS, 36 (36): 75–109, CiteSeerX 10.1.1.589.288, MR 0262240, doi:10.1007/BF02684599 Gieseker, D. (1982), Lectures on moduli of curves (PDF), ISBN 978-3-540-11953-1, Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics and Physics, 69, Published for the Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, MR 691308 Harris, Joe; Morrison, Ian (1998), Moduli of curves, ISBN 978-0-387-98429-2, Graduate Texts in Mathematics, 187, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 1631825